2.7.2. Задача Дирихле для круга. Интеграл Пуассона

7А+Б10 (Задача Дирихле для круга). Найти функцию, гармоническую

внутри круга и принимающую на его границе заданные значения.

Введем полярные координаты

r

и

,

полюс поместим в центре

данного круга, радиус которого обозначим через

.R

Двумерный оператор

Лапласа выражаем в полярных координатах. Уравнение Лапласа

принимает вид

2

22

11

0

uu

r

r r r

r

  













. (2.128)

Найдем функцию

 

,,u u r

удовлетворяющую уравнению (2.128)

при

rR

и принимающую на границе



круга радиуса

R

заданные

значения

 

:uf

   

,.

rR

u r f



  

(2.129)

Решение уравнения (2.128) ищем в виде произведения двух функций

 

Ur

и

 

,

первая из которых зависит только от

,r

вторая – только от

:

     

,.u r U r   

(2.130)

Подставляя эту функцию в уравнение (2.128), получаем

2

22

1

0

d dU U d

r

r dr dr

rd





  







или

2

1r d dU d

r

U dr dr

d















.

Поскольку функция (2.130) – решение уравнения (2.128), то последнее

равенство должно выполняться для всех

r

и



из данной области

 

0 , 0 2 .rR    

Но это возможно лишь в случае, когда обе части

равенства не зависит от

r

и

,

т. е. являются одной и той же постоянной,

так как левая часть его может зависеть только от

,r

а правая – только от

.

Обозначив эту постоянную через

,

получаем два уравнения:

22

2

,

r d U r dU

U U dr

dr

  

(2.131)

2

0.

d



  



(2.132)

Это обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка.

Уравнение (2.132) является уравнением с постоянными

коэффициентами и имеет решение

 

cos sin ,AB     

где

A

и

B

– произвольные постоянные.

Покажем, что



не может принимать любые значения. Действительно,

прибавление слагаемого

2

к аргументу



возвращает точку

 

,Mr

в

исходное положение. Это значит, что

   

2,     

т. е. функция

 



является периодической с периодом

2

. Последнее возможно, когда

,n

2

n

 

0,1, 2,...n 

(отрицательные значения

n

можно не

принимать во внимание, поскольку

n

влияет только на знак произвольной

постоянной

).B

Итак, уравнение (2.132) имеет решение

 

cos sin

n n n

A n B n     

 

0,1, 2,... .n 

Уравнение (2.131) при

2

n

принимает вид

2

22

2

0.

d U dU

r r n U

dr

  

Решение этого уравнения находится с помощью подстановки

.Ur





Поскольку

1

;

dU

r

dr





 

2

1,

dU

r

dr



   

то

 

2 2 1 2

1 0,r r r r n r

  

      

22

0,n  

.n  

В случае

n  

получаем функцию

 

,

n

U r r





которая обращается в

бесконечность при

0.r 

Эта функция не может быть использована для

построения решения задачи Дирихле (ищется решение непрерывное и

конечное в круге радиуса

).R

При

n

получаем функцию

 

n

U r r

 

0,1, 2,... .n 

Подставляя

выражения

 

n



и

 

n

Ur

в формулу (2.130), находим частные решения

уравнения (2.128):

 

, cos sin .

n

n n n

u r A n B n r   

Решением этого уравнения будет также функция

   

 

00

, , cos sin .

n

n n n

nn

u r u r A n B n r





      



Вводя обозначения

0

2

a

A 

,

nn

Aa

nn

Bb

 

1, 2,3,... ,n 

запишем это решение в виде

 

0

1

, cos sin .

2

n

nn

n

a

u r a n b n r





     



(2.133)

Коэффициенты

,

nn

ab

определим из условия (2.129):

 

0

cos sin ,

2

n

nn

n

a

f a n b n R





     



 

0

cos sin .

2

nn

n

a

f a R n b R n





     



Последнее равенство представляет разложение функции

 

f 

в ряд

Фурье. Как известно,

 

2

0

1

cos ,

n

R a f t ntdt









 

2

0

1

sin ,

n

R b f t ntdt









откуда

 

2

0

1

cos ,

n

a f t ntdt

R









 

2

0

1

sin .

n

b f t ntdt

R









Подставив выражение для коэффициентов

,

nn

ab

в формулу (2.133),

получим искомое решение задачи Дирихле для круга:

     

2

1

0

1

, 1 2 cos .

2

n

r

u r n t f t dt

R











    

















(2.134)

Вычислим сумму в квадратной скобке. Принимая во внимание

формулы Эйлера (

cos

2

ix ix

ee

x







), находим, что

 

   

2cos .

in t in t

n t e e

  

   

Следовательно,

   

11

1 2 cos 1 2cos

nn

rr

n t n t

RR





   

       

   

   



       

1 1 1

1 1 .

n n n

in t in t i t i t

n n n

r r r

e e e e

R R R

  

     

  

     



     

     



     

  

Комплексные члены полученных рядов образуют геометрические

прогрессии, знаменатели которых по модулю меньше единицы.

Действительно,

   

1,

i t i t

rr

ee

RR

 



   

1

i t i t

rr

ee

RR

   



и, воспользовавшись формулой

1

b

S

q





суммы членов геометрической

прогрессии (

1

b

– первый член,

q

– знаменатель прогрессии), получаем

   

 

11

i t i t

nn

i t i t

nn

rr

ee

rr

RR

ee

rr

RR

ee

RR

  



  



   

     

   

   





 

22

2 cos

Rr

R Rr t r





   

.

Итак,

 

22

1

1 2 cos

2 cos

n

r R r

nt

R

R Rr t r









   



   





. (2.135)

Подставим выражение (2.135) в формулу (2.134),тогда получим

 

22

2

22

0

1

,.

2

2 cos

Rr

u r f t dt

R Rr t r









   



(2.136)

Таким образом, доказано утверждение.

7А+Б11 (Теорема). Задача Дирихле 7А+Б10 для круга имеет решение,

и это решение выражается формулой (2.136).

7А+Б12 (Определение). Интеграл (2.136) называется интегралом

Пуассона, а выражение

 

22

1

2

2 cos

Rr

R

R r Rr t





   

– ядром Пуассона

для круга.